Objetivo(s) de Aprendizaje

·Utilizar el orden de las operaciones para simplificar expresiones.

·Simplificar expresiones que contienen valores absolutos.

 

Introducción

Las personas necesitan un conjunto de normas comunes para realizar cálculos básicos. ¿A qué es igual 3 + 5 • 2? ¿Es a 16 o a 13? La respuesta depende de cómo entiendas el orden de las operaciones -- un conjunto de reglas que te indican el orden en que se realizan la suma, la resta, la multiplicación y la división en cualquier cálculo.

 

Los matemáticos han desarrollado una orden estándar de las operaciones que te indica qué cálculos hacer primero en una expresión con más de una operación. Sin un procedimiento estándar para realizar cálculos, dos personas podrían obtener dos respuestas diferentes para el mismo problema.

 

Las Cuatro Operaciones Básicas

Las piedras base del orden de las operaciones son las operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y división. El orden de las operaciones establece:

·       Multiplicar o dividir primero, de izquierda a derecha

·       Después, sumar o restar en orden de izquierda a derecha

 

¿Cuál es la respuesta correcta para la expresión 3 + 5 • 2? Utiliza el orden de las operaciones indicado anteriormente.

Multiplica primero.             3 + 5 • 2 = 3 + 10

Después, suma.   3 + 10 = 13

 

Este orden de las operaciones se cumple para todos los números reales.

 

Ejemplo

Problema

Simplifica 7 - 5 + 3 · 8.

7 - 5 + 3 • 8

Según el orden de las operaciones, la multiplicación se realiza antes que la suma y la resta. Multiplica 3 · 8.

7 - 5 + 24

Ahora, suma y resta de izquierda a derecha. 7 - 5 se realiza primero.

2 + 24 = 26

Por último, suma 2 + 24.

Respuesta

7 - 5 + 3 • 8 = 26

 

Cuando aplicas el orden de operaciones para expresiones que contienen fracciones, decimales y números negativos, tendrás que recordar cómo realizar estos cálculos.

 

Ejemplo

Problema

Simplifica http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image001.gif

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image002.gif

Según el orden de las operaciones, la multiplicación se realiza antes que la suma y que la resta. 

Multiplica primero.http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image003.gif

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image004.gif

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image005.gif

Ahora, divide http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image006.gif.

1 - 32 = -31

Resta.

Respuesta

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image007.gif

 

Exponentes

Cuando evalúas expresiones, a veces verás exponentes utilizados para representar una multiplicación repetida. Recuerda que una expresión como http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image008.gif es una notación exponencial para 7 • 7. (La notación exponencial consta de dos partes: la base y el exponente o potencia. Enhttp://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image008.gif, 7 es la base y 2 es el exponente; el exponente determina cuántas veces se multiplica la base por sí misma).

 

Los exponentes son una manera de representar una multiplicación repetida; el orden de las operaciones los coloca antes de que se realice cualquier otra multiplicación, división, suma y resta.

 

Ejemplo

Problema

Simplifica http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image009.gif.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image010.gif

Este problema tiene exponentes y multiplicación. Según el orden de las operaciones, simplificar 32 y 23 se realiza antes que la multiplicación.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image011.gif

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image012.gif  es igual a 3 · 3, que es igual a 9.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image013.gif

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image014.gif  es igual a 2 · 2 · 2, que es igual a 8.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image015.gif

Multiplica.

Respuesta

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image016.gif

 

Ejemplo

Problema

Simplifica http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image017.gif.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image018.gif

Este problema tiene exponentes, multiplicación, y suma. Según el orden de las operaciones, simplifica los términos con exponentes en primer lugar, después multiplica y luego suma.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image019.gif

Evalúa: http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image020.gif

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image021.gif

Evalúa: http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image022.gif

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image023.gif

Multiplica.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image024.gif

Simplifica. http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image025.gif, de modo que puedas sumar http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image026.gif.

Respuesta

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image027.gif

 

Simplifica: http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image028.gif.

A) -300

B) 0

C) 100

D) 300

 

Símbolos de Agrupación

La última pieza que deberás considerar en el orden de las operaciones es agrupar los símbolos. Estos incluyen paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { }, e incluso barras de fracción. Estos símbolos se utilizan a menudo para ayudar a organizar expresiones matemáticas (verás muchas en el álgebra).

Los símbolos de agrupación se utilizan para aclarar qué operaciones realizar primero, especialmente si se desea un orden específico. Si hay una expresión que debe ser simplificada dentro de los símbolos de agrupación, sigue el orden de las operaciones.

 

El Orden de las Operaciones

·Realiza todas las operaciones dentro de los símbolos de agrupación en primer lugar. Los símbolos de agrupación incluyen paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { }, y barras de fracción.

·Evalúa exponentes o raíces cuadradas.

·Multiplica o divide, de izquierda a derecha.

·Suma o resta, de izquierda a derecha.

 

Cuando hay símbolos de agrupación dentro de símbolos de agrupación, calcula desde el interior hacia el exterior. Es decir, comienza primero con la simplificación dentro de los símbolos de agrupación más recónditos.

 

Recuerda que los paréntesis también se pueden utilizar para mostrar una multiplicación. En el ejemplo que sigue, se muestran ambos usos de los paréntesis--como una manera de representar un grupo, así como una manera de expresar multiplicación.

 

Ejemplo

Problema

Simplifica (3 + 4)2 + (8)(4).

(3 + 4)2 + (8)(4).

(3 + 4)2 + (8)(4).

Este problema tiene paréntesis, exponentes, multiplicación, y suma. El primer conjunto de paréntesis es un símbolo de agrupación. El segundo indica multiplicación.

Los símbolos de agrupación se resuelven en primer lugar. Suma los números entre paréntesis .

72 + (8)(4).

49 + (8)(4).  

Simplifica 72.

Realiza la multiplicación.

49 + 32 = 81

Realiza la suma.

Respuesta

(3 + 4)2 + (8)(4) = 81

 

Ejemplo

Problema

Simplifica (1.5 + 3.5) - 2(0.5 · 6)2.

(1.5 + 3.5) - 2(0.5 · 6)2

Este problema tiene paréntesis, exponentes, multiplicación, resta y suma.

Los símbolos de agrupación se resuelven en primer lugar. Suma los números del primer conjunto de paréntesis.

5 - 2(0.5 · 6)2

Multiplica números del segundo conjunto de paréntesis.

5 - 2(3)2

Evalúa los exponentes.

5 - 2 · 9

Multiplica.

5 - 18 = -13

Resta.

Respuesta

(1.5 + 3.5) - 2(0.5 · 6)2 = -13

 

Ejemplo

Problema

Simplifica http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image030.gif

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image031.gif

Este problema tiene corchetes, paréntesis, fracciones, exponentes, multiplicación, resta y suma.

Los símbolos de agrupación se resuelven en primer lugar. Los paréntesis alrededor de -6 no son un símbolo de agrupamiento, simplemente están dejando en claro que el signo negativo pertenece al 6. Comienza con el conjunto de paréntesis recónditos que son un símbolo de agrupamiento, aquí se encuentra en el numerador de la fracción, (2 · -6), y comienza a trabajar. (La línea de la fracción actúa como un tipo de símbolo de agrupación, también; simplifica el numerador y el denominador de forma independiente y, a continuación, divide el numerador entre el denominador al final).

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Suma los valores de los corchetes.

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Resta 5 - [-9] = 5 + 9 = 14.

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La parte superior de la fracción está resuelta, pero la parte inferior (denominador) ha permanecido intacta. Aplica el orden de las operaciones a ella también. Empieza evaluando 32 = 9.

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 Suma ahora. 9 + 2 = 11.

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Respuesta

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image037.gif

 

Simplifica http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image038.gif

A) 25

B) 26

C) 151

D) http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image039.gif

 

Recordando el Orden de las Operaciones

El Orden de las Operaciones

·Realiza todas las operaciones dentro de los símbolos de agrupación en primer lugar. Los símbolos de agrupación incluyen paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { }, y barras de fracción.

·Evalúa los exponentes o las raíces cuadradas.

·Multiplica o divide, de izquierda a derecha.

·Suma o resta, de izquierda a derecha.

 

Conocer el orden de las operaciones es algo importante, pero a veces es difícil de recordar. Algunas personas usan un refrán que les ayuda a recordar el orden de las operaciones. Ese refrán es "Ponte En Mi Difícil Situación, Reina." o "PEMDSR" para abreviarlo. La primera letra de cada palabra comienza con la misma letra de una operación aritmética.

 

Ponte http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-1-8_RESOURCE/U01_L5_T2_text_final_v4_files/image002.gif Paréntesis (y otros símbolos de agrupación)

Ehttp://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-1-8_RESOURCE/U01_L5_T2_text_final_v4_files/image002.gif Exponentes

MDifícil http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-1-8_RESOURCE/U01_L5_T2_text_final_v4_files/image002.gif Multiplicación y División (de izquierda a derecha).

Situación Reina http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-1-8_RESOURCE/U01_L5_T2_text_final_v4_files/image002.gif Suma y Resta (de izquierda a derecha).


 

Nota: Aunque la multiplicación aparece antes que la división en el refrán, la división podría realizarse primero. Aquello que se realiza en primer lugar, entre la multiplicación y la división, está determinado por cual aparece primero cuando se leen de izquierda a derecha. Lo mismo es cierto en el caso de las sumas y restas. ¡No dejes que el refrán te confunda al respecto!

 

Expresiones de Valor Absoluto

Las expresiones de valor absoluto son un último método de agrupación con el que puedes toparte. Recuerda que el valor absoluto de un número es siempre positivo o 0.

 

Cuando veas una expresión de valor absoluto incluida dentro de una expresión mayor, sigue el orden regular de las operaciones y evalúa la expresión dentro del signo del valor absoluto. Luego toma el valor absoluto de la expresión. El ejemplo siguiente muestra cómo se hace esto.

 

Ejemplo

Problema

Simplifica http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image041.gif

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image042.gif

Este problema tiene valores absolutos, decimales, multiplicación, resta y suma.

Los símbolos de agrupación, incluyendo el valor absoluto, se resuelven en primer lugar. Simplifica el numerador, luego el denominador. Evalúa |2 - 6|.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image043.gif

Obtén el valor absoluto de

|-4|.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image044.gif

Suma los números del numerador.

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Ahora que el numerador está simplificado, ocúpate del denominador. Evalúa primero la expresión de valor absoluto.

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http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image047.gif

La expresión "2|4.5|" se lee "2 veces el valor absoluto de 4.5". Multiplica 2 veces 4.5.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image048.gif

Resta.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image049.gif

Respuesta

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U09_L4_T1_text_final_3_files/image050.gif

 

Simplifica: (5|3 - 4|)3.

A) -125

B) 1331

C) -49

D) 125

 

Resumen

El orden de las operaciones nos otorga un método coherente estándar a utilizar cuando simplificamos cadenas de números y expresiones algebraicas. Sin el orden de las operaciones, distintas personas podrían llegar a respuestas diferentes para el mismo problema de cálculo. Algunas personas recuerdan el orden de las operaciones mediante el refrán "Ponte En Mi Difícil Situación, Reina." o, más simple, PEMDSR.

 

Permisos

Esta lectura está tomada del Programa Abierto de Matemáticas para el Desarrollo creado por The NROC Project. Está disponible bajo licencia Creative Commons. 

 

Modifié le: mardi 16 octobre 2018, 10:21