Objetivo(s) de Aprendizaje

·Utilizar las propiedades de igualdad para aislar variables y resolver ecuaciones algebraicas.

·Utilizar las propiedades de igualdad y la propiedad distributiva para resolver ecuaciones que contienen paréntesis, fracciones y/o decimales.

 

Introducción

Hay algunas ecuaciones que puedes resolver rápidamente en tu cabeza. Por ejemplo - ¿cuál es el valor de y en la ecuación 2y = 6? Lo más probable es que no hayas tenido que sacar lápiz y papel para calcular y = 3. Solo necesitas hacer una cosa para obtener la respuesta, dividir 6 entre 2.

Otras ecuaciones son más complicadas. ¡Resolverhttp://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image001.gif sin escribir nada es difícil! Eso es porque esta ecuación contiene no solo una variable sino también fracciones y términos dentro del paréntesis. Esta es una ecuación de pasos múltiples, una que requiere de varios pasos para su solución. Aunque las ecuaciones de pasos múltiples requieren de más tiempo y de más operaciones, aún pueden ser simplificadas y ser resueltas aplicando reglas algebraicas básicas.

 

Usar las Propiedades de Igualdad

Recuerda que puedes pensar en una ecuación como si fuera una balanza, con el objetivo de reescribir la ecuación para que sea más fácil de resolver pero equilibrada. La propiedad de igualdad de la suma y la propiedad de igualdad de la multiplicación explican cómo puedes mantener equilibrada la escala, o la ecuación. Siempre que realices una operación de un lado de la ecuación, si realizas la misma operación exacta del otro lado, mantendrás iguales ambos lados de la ecuación.

 

Si la ecuación se presenta en la forma, ax + b = c, donde x es la variable, puedes resolver la ecuación como antes. Primero "deshaz" la suma y la resta, y luego "deshaz" la multiplicación y la división.

 

Ejemplo

Problema

Resuelve 3y + 2 = 11.

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Resta 2 en ambos lados de la ecuación para obtener el término con la variable por sí mismo.

Divide ambos lados de la ecuación entre 3 para obtener un coeficiente de 1 para la variable

.

Respuesta

y = 3

 

Ejemplo

Problema

Resuelve http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image003.gif.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image004.gif

Suma 2 en ambos lados de la ecuación para obtener el término con la variable por sí mismo.

Multiplica ambos lados de la ecuación por 4 para obtener un coeficiente de 1 para la variable.

Respuesta

x = 20

 

Si la ecuación no se presenta en la forma, ax + b = c, necesitarás realizar algunos pasos adicionales para obtener la ecuación en esa forma. En el siguiente ejemplo, hay varios conjuntos de términos comunes. Primero debes combinar todos los términos comunes.

 

Ejemplo

Problema

Resuelve 3x + 5x + 4 - x + 7 = 88.

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Hay tres términos comunes 3x, 5x y -x que involucran una variable.

Combina estos términos comunes.

4 y 7 también son términos comunes y se pueden sumar.

La ecuación ahora se presenta en la forma

ax + b = c. Entonces, podemos resolverla como antes.

Resta 11 en ambos lados.

Divide ambos lados entre 7.

Respuesta

x = 11

 

Algunas ecuaciones pueden tener una variable del mismo signo en ambos lados. Necesitamos "mover" uno de los términos variables para resolver la ecuación.

 

Ejemplo

Problema

Resuelve 6x + 5 = 10 + 5x. Comprueba tu solución.

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Esta ecuación contiene términos de x tanto a la izquierda como a la derecha. Para resolver una ecuación como esta, primero debes colocar las variables en un mismo lado del signo igual.

Puedes restar 5x en cada lado del signo igual, lo cual resulta en una nueva ecuación: x + 5 = 10. ¡Ahora es una ecuación de un paso!

Resta 5 en ambos lados.

Verifica

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Verifica tu solución sustituyendo 5 entre x en la ecuación original.

Esta es una afirmación verdadera, por lo que la solución es correcta.

Respuesta

x = 5

 

Aquí hay algunos pasos a seguir cuando resuelves ecuaciones de pasos múltiples.

 

Resolver Ecuaciones de Pasos Múltiples

1.  Si es necesario, simplifica las expresiones en cada lado de la ecuación, incluyendo la combinación de términos comunes.

2. Reubica todos los términos variables de un lado y todos los números del otro lado usando la propiedad de igualdad de la suma. (ax + b = c o c = ax + b)

3. Aísla el término variable usando la operación inversa o inversa aditiva (opuesta) usando la propiedad de igualdad de la suma.

4.  Aísla la variable usando la operación inversa o inversa multiplicativa (recíproca) usando la propiedad de igualdad de la multiplicación para escribir la variable con un coeficiente de 1.

5. Verifica tu solución sustituyendo el valor de la variable en la ecuación original.

 

Los ejemplos a continuación ilustran esta secuencia de pasos.

 

Ejemplo

Problema

Resuelve para y.

-20y  + 15 = 2 - 16y + 11

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Paso 1. En el lado derecho, combina los términos comunes: 2 + 11 = 13.

Paso 2. Suma 20 y en ambos lados para eliminar el término variable del lado izquierdo de la ecuación.

Paso 3. Resta 13 en ambos lados.

Paso 4. Divide 4y entre 4 para resolver y.

Verifica

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Paso 5. Para verificar tu respuesta, sustituye y por http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image010.gif en la ecuación original. La afirmación 5 = 5 es verdadera, entonces y = http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image010.gif es la solución.

Respuesta

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image011.gif

 

Ejemplo Avanzado

Problema

Resuelve 3y + 10.5 = 6.5 + 2.5y. Comprueba tu solución.

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Esta ecuación contiene términos de y tanto a la izquierda como a la derecha. Para resolver una ecuación como esta, primero debes colocar las variables en un mismo lado del signo igual.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image013.gif

Suma -2.5y en ambos lados de manera que la variable permanezca solo en un lado.

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Ahora aísla la variable restando 10.5 en ambos lados.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image015.gif

Multiplica ambos lados por 10 de manera que 0.5y se convierta en 5y, entonces divide entre 5.

Verifica

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image016.gif

Verifica tu solución sustituyendo y por -8 en la ecuación original.

Esta es una afirmación verdadera, por lo tanto la solución es correcta.

Respuesta

y = -8

 

Pregunta Avanzada

Identifica el paso que no te llevará a una solución correcta del problema.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image017.gif

a) Multiplicar ambos lados de la ecuación por 2.

b) Sumar http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image018.gif en ambos lados de la ecuación.

C) Sumar http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image019.gif en el lado izquierdo, y sumar http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image020.gif en el lado derecho.

D) Reescribir http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image021.gif como http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image022.gif.

 

Resolver Ecuaciones que Involucran Paréntesis, Fracciones y Decimales

Las ecuaciones de pasos múltiples más complejas pueden involucrar símbolos adicionales como los paréntesis. Aún se pueden usar los pasos anteriores. Si hay paréntesis, usa la propiedad distributiva de la multiplicación como parte del Paso 1 para simplificar la expresión. Entonces resuelve como antes.

 

La Propiedad Distributiva de la Multiplicación

Para todos los números reales a, b, y c, a(b + c) = ab + ac.

 

Lo que esto significa es que cuando un número multiplica una expresión dentro de un paréntesis, puedes distribuir individualmente la multiplicación para cada término de la expresión. Entonces, puedes seguir los pasos de rutina descritos anteriormente para aislar la variable y así resolver la ecuación.

 

Ejemplo

Problema

Resuelve para a.

4(2a + 3) =  −3(a − 1) + 31

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Aplica la propiedad distributiva para expandir 4(2a + 3) a 8a + 12 y −3(a - 1) a −3a + 3.

Combina los términos comunes.

Suma 3a en ambos lados para mover los términos variables a un lado.

Resta 12 para aislar el término variable.

Divide ambos términos entre 11 para obtener un coeficiente de 1.

Respuesta

a = 2

 

¿En cuál de las siguientes ecuaciones se aplica correctamente la propiedad distributiva para la ecuación 2(y +3) = 7?

A) y + 6 = 7

B) 2y + 6 = 14

C) 2y + 6 = 7

D) 2y + 3 = 7

 

Si prefieres no trabajar con fracciones, puedes usar la propiedad de igualdad de la multiplicación para multiplicar ambos lados de la ecuación por un denominador común de todas las fracciones en la ecuación. Observa el ejemplo a continuación.

 

Ejemplo

Problema

Resuelve http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image026.gif despejando primero las fracciones en la ecuación.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image027.gif

Multiplica ambos lados de la ecuación por 4, el común denominador de los coeficientes fraccionarios.

Utiliza la propiedad distributiva para expandir las expresiones en ambos lados.

Multiplica.

Suma 3x en ambos lados para mover los términos variables a un solo lado.

Suma 12 en ambos lados para mover los términos constantes al otro lado.

Divide para aislar la variable.

Respuesta

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image028.gif

 

Por supuesto, si te gusta trabajar con fracciones, puedes aplicar tu conocimiento de operaciones con fracciones y resolver.

 

Ejemplo

Problema

Resuelve http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image026.gif.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image029.gif

Suma http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image030.gif en ambos lados para llevar los términos variables a un lado.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image031.gif http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image032.gif

Suma 3 en ambos lados para llevar los términos constantes al otro lado.

Para obtener un coeficiente de 1, multiplica el término variable por su inverso multiplicativo.

Respuesta

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image028.gif

 

Ejemplo Avanzado

Problema

Resuelve http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image033.gif. Comprueba tu solución.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image034.gif

La solución de esta ecuación requerirá múltiples pasos. Comienza evaluando 32 = 9.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image035.gif

Ahora distribuye http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image010.gifdel lado izquierdo de la ecuación.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image036.gif

Multiplica ambos lados de la ecuación por 18, el común denominador de las fracciones en el problema.

Usa la propiedad distributiva para expandir la expresión del lado izquierdo.

Luego elimina un factor de 1 en ambos lados. A la izquierda, puedes pensar en http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image037.gifcomo http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image037.gif. A la izquierda, puedes pensar en http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image038.gifcomohttp://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image038.gif.

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image039.gif

Continúa resolviendo para a usando la propiedad distributiva.

Luego aísla la variable y resuelve el problema restante de un paso.

Verifica

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image040.gif

Verifica tu solución sustituyendo a por http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image041.gif en la ecuación original.

Esta es una afirmación verdadera, por lo que la solución es correcta.

Respuesta

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image042.gif

 

Para despejar las fracciones de http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image043.gif, ¿por cuál de los siguientes números podemos multiplicar ambos lados de la ecuación?

3   6   9   27

A) 9

B) 9 o 27

C) 6

D) 3 o 9

 

Independientemente del método que utilices para resolver ecuaciones que contengan variables, obtendrás la misma respuesta. ¡Puedes elegir el método que encuentres más fácil! Recuerda verificar tu respuesta sustituyendo tu solución en la ecuación original.

 

Del mismo modo que puedes despejar fracciones de una ecuación, puedes despejar decimales de la ecuación de la misma manera. Encuentra un denominador común y usa la propiedad de igualdad de la multiplicación para multiplicar ambos lados de la ecuación.

 

Ejemplo

Problema

Resuelve 0.4x - 0.25 = 1.75 despejando primero los decimales.

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0.4 (http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image047.gif), 0.25 (http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image048.gif) y 1.75 (http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image049.gif)

tienen un común denominador de 100

Multiplica ambos lados por 100.

Aplica la propiedad distributiva para despejar los paréntesis.

Resuelve como antes. Suma 25 en ambos lados.

Divide ambos lados entre 40.

Verifica:

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image050.gif

Sustituye x = 5 en la ecuación original.

Evalúa.

La solución es correcta.

Respuesta

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image051.gif

 

Pregunta Avanzada

Resuelve para a: http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-9-14_RESOURCE/U10_L1_T2_text_final_7_files/image052.gif

A) a = 2

B) a = 1

C) a = 0

D) a = -2

 

Resumen

Las ecuaciones complejas de pasos múltiples a menudo requieren soluciones de pasos múltiples. Antes de que puedas comenzar a aislar una variable, puede que primero necesites simplificar la ecuación. Esto puede significar el uso de la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis, o multiplicar ambos lados de una ecuación por un denominador común para deshacerse de las fracciones. Algunas veces ello requiere de ambas técnicas.

 

Permisos

Esta lectura está tomada del Programa Abierto de Matemáticas para el Desarrollo creado por The NROC Project. Está disponible bajo licencia Creative Commons. 

Last modified: Tuesday, October 16, 2018, 1:04 PM