Lectura: Desigualdades de Pasos Múltiples
Objetivo(s) de Aprendizaje
·Utilizar las propiedades de desigualdad en conjunto para aislar variables y resolver desigualdades algebraicas, y expresar sus soluciones de forma gráfica.
·Simplificar y resolver desigualdades algebraicas usando la propiedad distributiva para despejar paréntesis y fracciones.
Introducción
La solución de desigualdades de pasos múltiples es muy similar a la solución de ecuaciones--lo que hagas de un lado necesitas hacerlo del otro lado, a fin de mantener el "equilibrio" de la desigualdad. Las Propiedades de Desigualdad pueden ayudarte a entender cómo sumar, restar, multiplicar o dividir en una desigualdad.
Utilizar las Propiedades en Conjunto para Resolver Desigualdades
Una estrategia muy utilizada para resolver ecuaciones, aislar la variable, también aplica para la solución de desigualdades. Al sumar, restar, multiplicar o dividir, puedes reescribir la desigualdad, de modo que la variable esté en un lado y todo lo demás esté en el otro. Al igual que con las desigualdades de un solo paso, las soluciones de las desigualdades de pasos múltiples pueden ser graficadas sobre una línea de números.
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Ejemplo |
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Problema |
Resuelve para p. 4p + 5 < 29 |
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Comienza por aislar la variable restando 5 en ambos lados de la desigualdad. Divide ambos lados de la desigualdad entre 4 para expresar la variable con un coeficiente de 1. |
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Respuesta |
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Para graficar esta desigualdad, dibuja un círculo abierto al final del punto 6 sobre la línea de números. El círculo está abierto porque la desigualdad es menor que 6 y no igual a 6. Los valores en los que p es menor que 6 se encuentran a lo largo de toda la línea de números a la izquierda del 6. Dibuja una línea azul con una flecha sobre la línea de números que apunte hacia esa dirección.
Para comprobar la solución, sustituye el punto final 6 en la desigualdad original escrita como una ecuación, la cual es llamada ecuación relacionada, para ver si obtienes una afirmación verdadera. A continuación, comprueba otra solución, como por ejemplo 0, para ver si la desigualdad es correcta.
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Ejemplo |
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Problema |
Comprueba que p < 6 es la solución a la desigualdad 4p + 5 < 29. |
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Comprueba el extremo del punto 6 en la ecuación. |
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Prueba con otro valor para comprobar la desigualdad. Usemos p = 0. |
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Respuesta p < 6 es la solución a la desigualdad 4p + 5 < 29. |
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Ejemplo |
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Problema |
Resuelve para x. 3x - 7 ≥ 41 |
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Comienza por aislar la variable sumando 7 en ambos lados de la desigualdad. Divide ambos lados de la desigualdad entre 3 para expresar la variable con un coeficiente de 1. |
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Verifica |
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En primer lugar, comprueba el extremo del punto 16 en la ecuación relacionada. A continuación, prueba otro valor para comprobar la desigualdad. Usemos x = 20. |
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Respuesta |
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A la hora de resolver ecuaciones de pasos múltiples, presta atención a situaciones en las que puedes multiplicar o dividir por un número negativo. En estos casos, debes invertir el signo de la desigualdad.
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Ejemplo |
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Problema |
Resuelve para p. -6p + 14 < -58 |
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Comienza por aislar la variable restando 14 de ambos lados de la desigualdad. Divide ambos lados de la desigualdad entre -6 para expresar la variable con un coeficiente de 1. Dividir entre un número negativo se traduce en invertir el signo de la desigualdad. |
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Verificar |
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Verifica la solución. En primer lugar, comprueba el punto final 12 en la ecuación. A continuación, prueba otro valor para comprobar la desigualdad. Prueba 100. |
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Respuesta |
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El gráfico de la desigualdad p > 12 tiene un círculo abierto en 12 con una flecha extendiéndose hacia la derecha.
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Ejemplo Avanzado |
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Problema |
Resuelve para x.
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Para aislar la variable, resta A continuación, multiplica por 3, de manera que el coeficiente delante del paréntesis sea 1. A continuación, resta 3 en ambos lados. |
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Verifica |
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Verifica la solución. En primer lugar, comprueba el punto final -18 en la ecuación. |
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Ahora verifica cualquier valor
de x que esté dentro de la región La afirmación es verdadera. |
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Respuesta |
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Pregunta Avanzada Una estudiante está resolviendo
la desigualdad A) B) C) D) |
Utilizar la Propiedad Distributiva para Despejar Paréntesis Fracciones
Como con las ecuaciones, la propiedad distributiva puede aplicarse para simplificar expresiones que forman parte de la desigualdad. Una vez que se han despejado los paréntesis será sencillo resolver la desigualdad.
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Ejemplo |
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Problema |
Resuelve para x. 2(3x - 5) ≤ 4x + 6 |
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Distribuye para despejar los paréntesis. Resta 4x en ambos lados para obtener el término variable sólo en un lado. Suma 10 en ambos lados para aislar la variable. Divide ambos lados entre 2 para expresar la variable con un coeficiente de 1. |
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Verifica la solución. En primer lugar, comprueba el extremo del punto 8 en la ecuación. A continuación, elije otra solución y evalúa la desigualdad para ese valor para asegurarte que se trata de una afirmación verdadera. Intenta con 0. |
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Respuesta |
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Ejemplo |
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Problema |
Resuelve para a.
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Despeja la fracción multiplicando ambos lados de la ecuación por 6. Suma 4 a ambos lados para aislar la variable. Divide ambos lados entre 2 para expresar la variable con un coeficiente de 1. |
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Verifica |
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Verifica la solución. En primer lugar, comprueba el extremo del punto 8 en la ecuación. A continuación, elije otra solución y evalúa la desigualdad para ese valor para asegurarte de que se trata de una afirmación verdadera. Prueba con 5. |
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Respuesta |
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Ejemplo Avanzado |
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Problema |
Resuelve para d.
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Esta desigualdad contiene dos paréntesis. Utiliza la propiedad distributiva para ampliar ambos lados de la desigualdad. |
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Ahora que las dos partes se han ampliado, combina los términos comunes y encuentra el rango de valores de d. |
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Verifica |
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Verifica la solución. En primer lugar, comprueba
el punto final Resulta una afirmación verdadera. |
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Ahora prueba cualquier valor
de d que esté dentro de la región Esta también es una afirmación verdadera. |
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Respuesta |
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Cuál es el primer paso más lógico para la solución de la variable en la desigualdad: 8x + 7 < 3(2x + 1) A) Invertir el signo de desigualdad. B) Usar la propiedad distributiva para despejar el paréntesis multiplicando cada uno de los términos del paréntesis por 3. C) Restar 2x en ambos lados de la desigualdad. D) Dividir ambos lados de la desigualdad entre 3. |
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Pregunta Avanzada Resuelve para x. A) B) C) D) |
Resumen
Las desigualdades pueden tener una gama de respuestas. Las soluciones a menudo se representan en una línea de números para visualizar todas las soluciones. Las desigualdades de pasos múltiples se resuelven utilizando los mismos procesos que funcionan para resolver ecuaciones, con una excepción. Al multiplicar o dividir ambos lados de una desigualdad por un número negativo, debes invertir el símbolo de desigualdad. Los símbolos de desigualdad siguen siendo los mismos cada vez que sumes o restes números positivos o negativos en ambos lados de la desigualdad.
Permisos
Esta lectura está tomada del Programa Abierto de Matemáticas para el Desarrollo creado por The NROC Project. Está disponible bajo licencia Creative Commons.
Last modified: Tuesday, October 16, 2018, 1:07 PM