Lectura: Graficar Sistemas de Ecuaciones
Objetivo(s) de Aprendizaje
·Resolver un sistema de ecuaciones lineales graficándolas.
·Determinar si un sistema de ecuaciones lineales es consistente o inconsistente.
·Determinar si un sistema de ecuaciones lineales es dependiente o independiente.
·Determinar si un par ordenado es una solución para un sistema de ecuaciones.
·Resolver problemas de aplicación graficando un sistema de ecuaciones.
Introducción
Recuerda que una ecuación lineal se grafica como una línea, lo que indica que todos los puntos de la línea son soluciones para la ecuación lineal. Hay un número infinito de soluciones. Si tienes un sistema de ecuaciones lineales, la solución para el sistema es el valor que hace verdaderas a todas las ecuaciones. Para dos variables y dos ecuaciones, esto es el punto donde se intersectan las dos gráficas. Las coordenadas de este punto serán la solución para las dos variables de las dos ecuaciones.
La solución para un sistema de ecuaciones es el valor o valores que son verdaderos para todas las ecuaciones del sistema. Las gráficas de las ecuaciones dentro de un sistema pueden indicarte cuántas soluciones existen para ese sistema. Observa las imágenes a continuación. Cada una muestra dos líneas que forman un sistema de ecuaciones.
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Una solución |
Sin soluciones |
Soluciones infinitas |
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Si las gráficas de las ecuaciones se intersectan, existe una solución que es verdadera para ambas ecuaciones. |
Si las gráficas de las ecuaciones no se intersectan (por ejemplo, si son paralelas), entonces no hay soluciones verdaderas para ambas ecuaciones. |
Si las gráficas de las ecuaciones son las mismas, entonces hay un número infinito de soluciones verdaderas para ambas ecuaciones. |
Cuando las líneas se intersectan, el punto de intersección es el único punto que las dos gráficas tienen en común. Entonces las coordenadas de ese punto son la solución para las dos variables utilizadas en las ecuaciones. Cuando las líneas son paralelas, no hay soluciones, y a veces las dos ecuaciones se graficarán en la misma línea, en cuyo caso tenemos un número infinito de soluciones.
A veces se utilizan algunos términos especiales para describir estos tipos de sistemas.
Los siguientes términos se refieren a cuantas soluciones tiene el sistema.
OCuando un sistema tiene una solución (las gráficas de las ecuaciones se intersectan una vez), el sistema es un sistema consistente de ecuaciones lineales y las ecuaciones son independientes.
OCuando un sistema no tiene solución (las gráficas de las ecuaciones no se intersectan), el sistema es un sistema inconsistente de ecuaciones lineales y las ecuaciones son independientes.
OSi las líneas son las mismas (las gráficas se intersecan en todos los puntos), el sistema es un sistema consistente de ecuaciones lineales y las ecuaciones son dependientes. Es decir, cualquier solución para una ecuación también debe ser una solución para la otra, por lo que las ecuaciones dependen una de la otra.
Los siguientes términos se refieren a si el sistema tiene alguna solución.
OEl sistema es un sistema consistente de ecuaciones lineales cuando tiene soluciones.
OEl sistema es un sistema inconsistente de ecuaciones lineales cuando no tiene soluciones.
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Podemos resumir esto de la siguiente manera: OUn sistema con una o más soluciones es consistente. OUn sistema sin soluciones es inconsistente. OSi las líneas son diferentes, las ecuaciones son ecuaciones lineales independientes. OSi las líneas son las mismas, las ecuaciones son ecuaciones lineales dependientes. |
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Ejemplo |
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Problema |
Usando el gráfico de y = x y x + 2y = 6, que se muestra abajo, determina cuantas soluciones tiene el sistema. Enseguida, clasifica el sistema como consistente o inconsistente y las ecuaciones como dependientes o independientes. |
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Las líneas se intersectan en un punto. Por lo tanto, las dos líneas sólo tienen un punto en común, sólo hay una solución para el sistema. Debido a que las líneas no son las mismas, las ecuaciones son independientes. Debido a que sólo hay una solución, este sistema es consistente. |
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Respuesta |
El sistema es consistente y las ecuaciones son independientes. |
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Ejemplo Avanzado |
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Problema |
Utilizando la gráfica de y = 3.5x + 0.25 y 14x - 4y = -4.5, que se muestra abajo, determina cuantas soluciones tiene el sistema. Enseguida, clasifica el sistema como consistente o inconsistente y las ecuaciones como dependientes o independientes. |
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Las líneas son paralelas, lo que significa que no se intersectan. No hay soluciones para el sistema. Las líneas no son las mismas, las ecuaciones son independientes. No hay soluciones. Por lo tanto, este sistema es inconsistente. |
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Respuesta |
El sistema es inconsistente y las ecuaciones son independientes. |
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Pregunta Avanzada ¿Cuál de las siguientes afirmaciones representa ecuaciones dependientes y sistemas consistentes? A)
B)
C)
D)
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En el gráfico de arriba, puedes observar que hay una solución para el sistema y = x y para x + 2y = 6. La solución parece ser (2, 2). Sin embargo, debes verificar una respuesta que leas de un gráfico para estar seguro de que no es realmente (2.001, 2.001) o (1.9943, 1.9943).
Una manera de verificar que el punto existe en ambas líneas es sustituir los valores x e y del par ordenado en la ecuación de cada línea. Si la sustitución da como resultado una afirmación verdadera, ¡entonces tienes la solución correcta!
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Ejemplo |
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Problema |
¿El punto (2, 2) es una solución para el sistema y = x y x + 2y = 6? |
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y = x 2 = 2 VERDADERO (2, 2) es una solución para y= x. |
X + 2y = 6 2 + 2(2) = 6 2 + 4 = 6 6 = 6 VERDADERO (2, 2) es una solución para x+ 2y = 6. |
Debido a que la solución del sistema debe ser una solución para todas las ecuaciones del sistema, verifica el punto en cada ecuación. Sustituye x por 2 e y por 2 en cada ecuación. |
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Respuesta |
(2, 2) es una solución para el sistema. |
Debido a que (2, 2) es una solución para cada una de las ecuaciones del sistema (2, 2) es una solución para el sistema. |
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Ejemplo |
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Problema |
¿El punto (3, 9) una solución para el sistema y =x 3 y 2x - y = 6? |
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y = 3x 9 = 3(3) VERDADERO (3, 9) es una solución para y= 3x. |
2x - y = 6 2(3) - 9 = 6 6 - 9 = 6 -3 = 6 FALSO (3, 9) no es una solución para 2x - y = 6. |
Debido a que la solución del sistema debe ser una solución para todas las ecuaciones del sistema, verifica el punto de cada ecuación. Sustituye x por 3 e y por 9 en cada ecuación. |
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Respuesta |
(3, 9) no es una solución para el sistema. |
Debido a que (3, 9) no es una solución para una de las ecuaciones del sistema, no puede ser una solución para el sistema. |
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Ejemplo |
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Problema |
¿El punto (-2, 4) es una solución para el sistema y = 2x 2 y 3 x +y = 1? |
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y = 2x 4 = 2(-2) 4 = -4 FALSO (-2, 4) no es una solución para y = 2x. |
3x + 2y = 1 3(-2) + 2(4) = 1 -6 + 8 = 1 2 = 1 FALSO (-2, 4) no es una solución para 3x + 2y = 1. |
Debido a que la solución del sistema debe ser una solución para todas las ecuaciones del sistema, verifica el punto en cada ecuación. Reemplaza x por -2 e y por 4 en cada ecuación. |
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Respuesta |
(-2, 4) no es una solución para el sistema. |
Debido a que (-2, 4) no es una solución para ninguna de las ecuaciones del sistema (-2, 4) no es una solución para el sistema. |
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Recuerda que, para ser una solución del sistema de ecuaciones, el valor del punto debe ser una solución para las ecuaciones. Una vez que encuentres una ecuación para la cual el punto es falso, has determinado que no es una solución para el sistema.
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¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera para el sistema 2x - y = 3 e y = 4x - 1? A) (2, 7) es una solución para una ecuación, pero no para la otra, por lo que es una solución para el sistema B) (2, 7) es una solución para una ecuación, pero no para la otra, por lo que no es una solución para el sistema C) (2, 7) es una solución para ambas ecuaciones, por lo que es una solución para el sistema D) (2, 7) no es una solución de ninguna ecuación, por lo que no es una solución para el sistema |
Graficar como un Método de Solución
Puedes resolver un sistema gráficamente. Sin embargo, es importante recordar que debes comprobar la solución, ya que puede no ser exacta.
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Ejemplo |
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Problema |
Encuentra todas las soluciones para el sistema y - x = 1 e y = x + 3. |
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En primer lugar, grafica ambas ecuaciones sobre los mismos ejes. Ambas líneas se intersectan una vez. Esto significa que sólo hay una solución para el sistema. |
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El punto de intersección parece ser (1, 2). |
Lee el punto de la gráfica con la mayor precisión posible. |
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y - x = 1 2 - 1 = 1 1 = 1 VERDADERO (1, 2) es una solución para y - x = 1. |
y + x = 3 2 + 1 = 3 3 = 3 VERDADERO (1, 2) es una solución para y + x = 3. |
Comprueba los valores en ambas ecuaciones. Sustituye x por 1 e y por 2. (1, 2) es una solución. |
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Respuesta |
(1, 2) es la solución para el sistema y - x = 1 y y + x = 3. |
Debido a que (1, 2) es una solución para cada una de las ecuaciones del sistema, esa es la solución para el sistema. |
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Ejemplo |
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Problema |
¿Cuántas soluciones tiene el sistema y = 2x + 1 y -4x + 2y = 2? |
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En primer lugar, grafica ambas ecuaciones sobre los mismos ejes. Las dos ecuaciones se grafican sobre la misma línea. Entonces, cada punto de esa línea es una solución para el sistema de ecuaciones. |
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Respuesta |
El sistema y = 2x + 1 y -4x + 2y = 2 tiene un número infinito de soluciones. |
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¿Cuál es la solución para el sistema x - y = -1 y 2x - y = -4? El sistema está graficado correctamente a continuación.
A) (-1, 2) B) (-4 -3) C) (-3 -2) D) (-1, 1) |
Graficar un Contexto de la Vida Real
Graficar un sistema de ecuaciones para un contexto de la vida real puede ser valioso para visualizar el problema. Veamos un par de ejemplos.
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Ejemplo |
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Problema |
Ayer en un juego de baloncesto, Cheryl anotó 17 puntos con una combinación de canastas de 2 puntos y de 3 puntos. El número de tiros de 2 puntos que hizo fue mayor al número de tiros de 3 puntos que hizo. ¿Cuántas canastas de cada tipo anotó? |
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x = el número de tiros de 2 puntos realizados y = el número de tiros de 3 puntos realizados |
Asigna variables a las dos incógnitas: el número de tiros de cada tipo. |
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2x = los puntos de canastas de 2 puntos 3y = los puntos de canastas de 3 puntos |
Calcula cuántos puntos se realizaron de cada uno de los dos tipos de tiros. |
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El número de puntos que Cheryl anotó (17) = los puntos de canastas de 2 puntos + los puntos de canastas de 3 puntos. 17 = 2x + 3y |
Escribe una ecuación usando la información dada en el problema. |
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El número de canastas de 2 puntos (x) = 1 + el número de canastas de 3 puntos (y). x = 1 + y |
Escribe una segunda ecuación utilizando información adicional dada en el problema. |
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17 = 2x + 3y x = 1 + y |
Ahora tienes un sistema de dos ecuaciones con dos variables. |
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Grafica ambas ecuaciones sobre los mismos ejes. Las dos líneas se intersectan, por lo que sólo tienen un punto en común. Esto significa que sólo hay una solución para el sistema. |
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El punto de intersección parece ser (4, 3). |
Lee el punto de intersección de la gráfica. |
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17 = 2x+ 3y 17 = 2(4)+ 3(3) 17 = 8 + 9 17 = 17 VERDADERO (4, 3) es una solución para 17 = 2x + 3y. |
X = 1 + y 4 = 1 + 3 4 = 4 VERDADERO (4, 3) es una solución para x = 1 + y |
Comprueba (4, 3) en cada ecuación para ver si se trata de una solución para el sistema de ecuaciones. (4, 3) es una solución para la ecuación. x = 4 e y = 3 |
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Respuesta |
Cheryl anotó 4 canastas de dos puntos y 3 canastas de tres puntos. |
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Ejemplo |
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Problema |
Andrés estaba tratando de decidir cuál de dos planes de teléfono móvil debía comprar. Un plan, HablaMucho, cobra una tarifa de $15 al mes por un número ilimitado de minutos. Otro plan, TelAmigo, cobra una cuota mensual de $5, además de un cobro de 20¢ por minuto para llamadas. Para examinar la diferencia de los planes, hizo un gráfico:
Si planea hablar por teléfono durante unos 70 minutos al mes, ¿qué plan debe comprar? |
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Observa el gráfico. HablaMucho está representado como y = 15, mientras que TelAmigo está representado como y = 0.2x + 5. El número de minutos aparece en el eje x. Cuando x = 70, HablaMucho cuesta $15, mientras que TelAmigo cuesta aproximadamente $19. |
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Respuesta |
Andrés debe comprar el plan HablaMucho. |
Debido a que HablaMucho cuesta menos para los 70 minutos, Andrés debe comprar ese plan. |
Ten en cuenta que si la estimación hubiese sido incorrecta, podría haberse hecho una nueva estimación. Volver a graficar para acercar el área donde las líneas se intersectan ayudaría a realizar una mejor estimación.
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Paco y Lisel gastaron $30 al ir al cine anoche. Paco gastó $8 más de Lisel. Si P = la cantidad que Paco gastó, y L = la cantidad que Lisel gastó, ¿qué sistema de ecuaciones puedes utilizar para averiguar cuánto gastó cada uno de ellos? A) P + L = 30 P + 8 = L B) P + L = 30 P = L + 8 C) P + 30 = L P - 8 = L D) L + 30 = P L - 8 = P |
Resumen
Un sistema de ecuaciones lineales se trata de dos o más ecuaciones lineales que tienen las mismas variables. Puedes graficar las ecuaciones como un sistema para averiguar si el sistema no tiene soluciones (representado por líneas paralelas), una solución (representado por líneas de intersección), o un número infinito de soluciones (representado por dos líneas superpuestas). Mientras que graficar sistemas gráficos de ecuaciones es una técnica útil, apoyarte en gráficas para identificar un punto de intersección determinado no siempre es una forma exacta para encontrar una solución precisa para un sistema de ecuaciones.
Permisos
Esta lectura está tomada del Programa Abierto de Matemáticas para el Desarrollo creado por The NROC Project. Está disponible bajo licencia Creative Commons.
Last modified: Tuesday, October 16, 2018, 1:14 PM