Lectura: Propiedades de los Exponentes

 

Objetivo(s) de Aprendizaje

·Utilizar la regla del producto para multiplicar expresiones exponenciales con bases comunes.

·Utilizar la regla de la potencia para elevar potencias a las potencias.

·Utilizar la regla del cociente para dividir expresiones exponenciales con bases comunes.

·Simplificar expresiones utilizando una combinación de las propiedades.

 

Introducción

La notación exponencial se desarrolló para escribir multiplicaciones repetidas de forma más eficiente. Hay ocasiones en las que es más fácil dejar las expresiones en notación exponencial cuando multiplicas o divides. Veamos las reglas que te permitirán hacer esto.

 

La Regla del Producto para los Exponentes

Recuerda que los exponentes son una manera de representar una multiplicación repetida. Por ejemplo, la notación 5⁴ puede ser extendida y escribirse como 5 • 5 • 5 • 5, o 625. Y no lo olvides, el exponente sólo aplica para el número a su izquierda inmediata, a menos que haya paréntesis.

 

¿Qué sucede si multiplicas dos números de forma exponencial con la misma base? Consideremos la expresión (2³)(2⁴). Al expandir cada exponente, esto se puede reescribir como (2 • 2 • 2) o 2 • 2 • 2 • 2 ó 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2. En la forma exponencial, escribirías el producto como 2⁷. 

 

Nota que 7 es la suma de los dos exponentes originales, 3 y 4.

 

¿Qué hay acerca de (x²)(x⁶)? Esto puede escribirse como (x • x)(x • x • x • x • x • x) = x • x • x • x • x • x • x • x  o x⁸. Y, una vez más, 8 es la suma de los dos exponentes originales.

 

La Regla del Producto para los Exponentes Para cualquier número x y cualquier entero a y b, (x a)(xb) x = xa+b.

 

Para multiplicar términos exponenciales con la misma base, simplemente suma los exponentes.

 

 

Cuando multiplicas términos más complicados, multiplica los coeficientes y después multiplica las variables.

 

 

Simplifica la expresión, conservando la respuesta en notación exponencial. (4x5)(2x8) A)  8x5 • x8 B) 6x13 C) 8x13 D) 8x40

 

La Regla de la Potencia para los Exponentes

Simplifiquemos (5²)⁴. En este caso, la base es 5² y el exponente es 4, por lo tanto multiplica 5² cuatro veces: (5²)⁴ = 5² • 5² • 5² • 5² =  5⁸ (utilizando la Regla del Producto - Suma los exponentes).

 

(5²)⁴  es una potencia de una potencia. Es la cuarta potencia de 5 a la segunda potencia. Y vimos anteriormente que la respuesta es 5⁸. Observa que el nuevo exponente es el mismo que el producto de los exponentes originales: 2 • 4 = 8.

 

Por lo tanto, (5²)⁴  = 5^2 •4 = 5⁸ (lo que equivale a 390,625 si haces la multiplicación).

 

Asimismo, (x⁴)³ = x^4 • 3 = x¹².

 

Esto nos lleva a otra regla para los exponentes--La Regla de la Potencia para los Exponentes. Para simplificar una potencia de una potencia, multiplica los exponentes, conservando la misma base. Por ejemplo, (2³)⁵ = 2¹⁵.

 

La Regla de la Potencia para los Exponentes Para cualquier número positivo x y enteros a y b: (xa)b= xa· b.

 

 

 

Simplifica:  A)  B)  C)  D)

 

La Regla del Cociente para los Exponentes

Observemos la división de términos que contienen expresiones exponenciales. ¿Qué sucede si divides dos números de forma exponencial con la misma base? Considera la siguiente expresión.

Puedes reescribir la expresión como: . Entonces puedes cancelar los factores comunes de 4 en el numerador y en el denominador: 

Por último, esta expresión se puede reescribir como 4³ usando la notación exponencial. Observa que el exponente 3, resulta de la diferencia entre los dos exponentes de la expresión original, 5 y 2.

 

Así,  = 4^5-2 = 4³.

Ten cuidado de restar el exponente en el denominador del exponente en el numerador.

 

O

  = x^7-9 = x^-2

Por lo tanto, para dividir dos términos exponenciales con la misma base, resta los exponentes.

 

La Regla del Cociente para los Exponentes Para cualquier número x distinto de cero y cualquier entero a y b:

 

Observa que  = 4⁰. Y sabemos que   =  = 1. Por lo que esto puede ayudar a explicar por qué 4⁰ = 1.

 

 

Al dividir términos que también contienen coeficientes, divide los coeficientes variables y después divide las potencias variables con la misma base restando los exponentes.

 

 

Aplicando las Reglas

Todas estas reglas de los exponentes—la Regla del Producto, la Regla de la Potencia, y la Regla del Cociente--son útiles a la hora de evaluar expresiones con bases comunes.

 

 

Normalmente, es más fácil simplificar la expresión antes de sustituir los valores para tus variables, pero obtendrás la misma respuesta en ambos sentidos.

 

 

Resumen

Existen normas que ayudan cuando multiplicas y divides expresiones exponenciales con la misma base. Para multiplicar dos términos exponenciales con la misma base, suma sus exponentes. Para elevar una potencia a una potencia, multiplica los exponentes. Para dividir dos términos exponenciales con la misma base, resta los exponentes.

 

Permisos

Esta lectura está tomada del Programa Abierto de Matemáticas para el Desarrollo creado por The NROC Project. Está disponible bajo licencia Creative Commons.