Lectura: Suma y Resta de Polinomios
Objetivos de aprendizaje
·Sumar polinomios.
·Encontrar el inverso de un polinomio.
·Restar polinomios.
Introducción
Sumar y restar polinomios puede sonar complicado, pero en realidad no es muy diferente a las sumas y restas que haces cada día. Lo principal que hay que recordar es buscar y combinar términos comunes.
Puedes sumar dos (o más) polinomios al igual que has sumado expresiones algebraicas. Puedes eliminar los paréntesis y combinar términos semejantes.
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Ejemplo |
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Problema |
Suma. (3b + 5) + (2b + 4) |
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(3b + 2b) + (5 + 4) |
Reagrupa utilizando la propiedad conmutativa de la suma y la propiedad asociativa de la suma. |
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5b + 9 |
Combina los términos comunes. |
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Respuesta |
(3b + 5) + (2b + 4) = 5b + 9 |
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Ejemplo |
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Problema |
Un jardín rectangular tiene un lado con un largo de x + 7 y otro con un largo de 2x + 3. Encuentra el perímetro del jardín.
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(x + 7) + (2x + 3) + (x + 7) + (2x + 3) |
El perímetro de un rectángulo es igual a la suma del largo de sus lados. |
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(x + 2x + x + 2x) + (7 + 3 + 7 + 3) |
Reagrupa por términos comunes utilizando las propiedades asociativa y conmutativa. |
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6x + 20 |
Suma los términos comunes. |
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Respuesta |
El perímetro es de 6x + 20. |
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El procedimiento es el mismo que cuando sumas polinomios que contienen coeficientes negativos o restas:
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Ejemplo |
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Problema |
Suma. (-5x2 - 10x + 2) + (3x2 + 7x - 4) |
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-5x2 + (-10x) + 2 + 3x2 + 7x + (-4) |
Reescribe la resta como la suma del inverso. |
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(-5x2 + 3x2) + (-10x + 7x) + (2 - 4) |
Reagrupa utilizando las propiedades asociativa y conmutativa. |
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-2x2 + (-3x) + (-2) |
Combina los términos comunes. |
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Respuesta |
(-5x2 - 10x + 2) + (3x2 + 7x - 4) = -2x2 - 3x - 2 |
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Los ejemplos anteriores muestran sumas de polinomios horizontalmente, de izquierda a derecha a lo largo de la misma línea. A algunas personas les gusta organizar su trabajo verticalmente, porque les resulta más fácil para asegurarse de que están combinando términos comunes. El siguiente ejemplo muestra este método "vertical" de suma de polinomios:
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Ejemplo |
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Problema |
Suma. (3x2 + 2x - 7) + (7 x2 - 4x + 8) |
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Escribe un polinomio debajo del otro, asegurándote de alinear los términos comunes. |
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Combina los términos comunes, prestando especial atención a los signos. |
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Respuesta |
(3x2 + 2x - 7) + (7 x2 - 4x + 8) = 10x2 - 2x + 1 |
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A veces, en un orden vertical, puedes alinear cada término debajo de un término común, como en el ejemplo anterior. Pero a veces esto no es tan ordenado. Cuando no hay un término común que coincida para cada término, habrá lugares vacíos en el orden vertical.
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Ejemplo |
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Problema |
Suma. (4x3 + 5x2 - 6x + 2) + (-4x2 + 10) |
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Escribe un polinomio debajo de los demás, alineando verticalmente los términos comunes.
Deja un espacio en blanco encima o debajo de cada término que no tenga un término común que coincida. |
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Combina los términos comunes prestando especial atención a los signos. |
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Respuesta |
(4x3 + 5x2 - 6x + 2) + (-4x2 + 10) = 4x3 + x2 - 6x + 12 |
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Encuentra la suma. (4a2 + 5a + 7) + (8a + 2)
A) 9a2 + 8 + 9
B) 16a2 + 10a
C) 12a2 + 5a + 9
D) 4a2 + 13a + 9
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Encontrar el Inverso de un Polinomio
Cuando restas polinomios, sumarás el inverso, como lo has hecho con los números reales. Entonces ¿cómo puedes encontrar el inverso de un polinomio? Recuerda que el inverso de 3 es -3, y el inverso de -3 es 3. Justo como el inverso de un número se encuentra multiplicando el número por -1, podemos encontrar el inverso de un polinomio multiplicándolo por -1.
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Ejemplo |
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Problema |
Encuentra el inverso de 9x2 + 10x + 5. |
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(-1)(9x2 + 10x + 5) |
Encuentra el inverso multiplicando por 1. |
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(-1)9x2 + (-1)10x + (-1)5
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Distribuye -1 para cada término del polinomio. |
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-9x2 + (-10x) + (-5)
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Multiplica cada coeficiente por -1. |
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Respuesta |
El inverso de 9x2 + 10x + 5 es -9x2 - 10x - 5. |
Reescribe la suma de un término negativo como una resta. |
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Ten cuidado cuando ya hay valores negativos o restas en el polinomio.
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Ejemplo |
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Problema |
Encuentra el inverso de 3p2 - 5p + 7. |
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(-1) (3p2 , 5p + 7) |
Encuentra el inverso multiplicando por -1. |
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(-1)[3p2 + (-5)p + 7] |
Cambia la resta a suma del inverso. |
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(-1)3p2 + (-1)(-5)p + (-1)7
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Distribuye -1 para cada término del polinomio y multiplica cada coeficiente por -1. |
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-3p2 + 5p + (-7) |
Reescribe la suma de un término negativo como una resta. |
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Respuesta |
El inverso de 3p2 - 5p + 7 es -3p2 + 5p - 7. |
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Observa que en la búsqueda del inverso de un polinomio, cambia el signo de cada término del polinomio.
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Encuentra el inverso del polinomio. 8a3 - 3a - 2
A) -8a3 - 3a - 2
B) 8a3 + 3a - 2
C) 8a3 + 3a + 2
D) -8a3 + 3a + 2
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Así como restar números reales es lo mismo que sumar el inverso, puedes restar polinomios sumando el inverso del segundo polinomio. Veamos un ejemplo:
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Ejemplo |
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Problema |
Resta. (15x2 + 12x + 20) - (9x2 + 10x + 5) |
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(15x2 + 12x + 20) + (9x2 - 10x - 5) |
Cambia la resta a suma del inverso. ¡Ten cuidado al cambiar el signo de cada término! |
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(15x2 + 9x2) + (12x 10x) + (20 - 5) |
Reagrupa para hacer coincidir los términos comunes. |
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6x2 + 2x + 15 |
Combina los términos comunes. |
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Respuesta |
(15x2 + 12x + 20) - (9x2 + 10x + 5) = 6x2 + 2x + 15 |
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Cuando los polinomios incluyen una gran cantidad de términos, puede ser fácil perder el rastro de los signos. Ten cuidado de transferirlos correctamente, especialmente cuando restes un término negativo.
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Ejemplo |
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Problema |
Resta. (14x3 + 3x2 - 5x + 14) - (7x3 + 5x2 - 8x + 10) |
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(14x3 + 3x2 - 5x + 14) + (-7x3 - 5x2 + 8x - 10) |
Reescríbelo como la suma del inverso. |
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14x3 + 3x2 + (-5)x + 14 + (-7)x3 + (-5)x2 + 8x +(-10) |
Es posible que desees volver a escribir todas las restas como las sumas de sus inversos. |
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14x3 + (-7)x3 + 3x2 + (-5)x2 + (-5)x + 8x + 14 + (-10) |
Reagrupa para juntar los términos comunes. |
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7x3 + (-2)x2 + 3x + 4 |
Combina los términos comunes. |
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Respuesta |
(14x3 + 3x2 - 5x + 14) - (7x3 + 5x2 - 8x + 10) = 7x3 - 2x2 + 3x + 4 |
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Los problemas complejos, como el anterior, pueden resolverse más fácilmente utilizando el enfoque vertical (mostrado a continuación). Sin embargo, elegir combinar polinomios depende de ti--El punto clave es identificar términos comunes, y ser capaz de organizarlos de forma precisa.
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Ejemplo |
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Problema |
Resta. (14x3 + 3x2 - 5x + 14) - (7x3 + 5x2 - 8x + 10) |
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Reorganiza utilizando el enfoque vertical. |
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Cambia la resta a la suma del inverso, y combina los términos comunes. |
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Respuesta |
(14x3 + 3x2 - 5x + 14) - (7x3 + 5x2 - 8x + 10) = 7x3 - 2x2 + 3x + 4 |
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Al igual que con las operaciones con enteros, la experiencia y la práctica facilita la suma y la resta de polinomios.
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Resta. (4a3 – 5a + 7) - (8a3 - 3a - 2)
A) -4a3 - 8a + 5
B) --4a3 + 3a + 9
C) -4a3 - 2a + 9
D) -4a3 + 2a + 5
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Resumen
Cuando sumes o restes polinomios, utiliza las propiedades asociativa y conmutativa para reagrupar los términos de un polinomio en grupos de términos comunes. Cambia la resta, incluyendo la resta del segundo polinomio, a la suma del inverso. Al encontrar el inverso de un polinomio, asegúrate de cambiar el signo de cada término. A continuación, puedes combinar los términos comunes.
Permisos
Esta lectura está tomada del Programa Abierto de Matemáticas para el Desarrollo creado por The NROC Project. Está disponible bajo licencia Creative Commons.
Last modified: Tuesday, October 16, 2018, 1:22 PM