Lectura: Multiplicar Casos Especiales
Objetivo(s) de aprendizaje
·Elevar al cuadrado un binomio.
·Multiplicar la suma y la resta de los mismos dos términos.
Introducción
Mientras la propiedad distributiva puede utilizarse para toda multiplicación de polinomios, se pueden encontrar algunos productos con binomios utilizando atajos. Estos métodos a veces son denominados productos especiales.
El Cuadrado de una Suma Binomial
A multiplicar un número por sí mismo a menudo se le llama elevar al cuadrado. Puedes representar esta multiplicación como un cuadrado. El número elevado al cuadrado es igual al largo de los lados del cuadrado y el producto está representado por el área de ese cuadrado. Considera la posibilidad de un cuadrado cuyo largo de lado está descrito por el binomio x + 3:
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x + 3 |
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x + 3 |
El área de este cuadrado es (x + 3)(x + 3) o (x + 3)2.
A continuación se muestra el mismo cuadrado, pero con los términos constantes y variables separados:
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x + |
3 |
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x + |
x |
3x |
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3 |
3x |
9 |
A partir de este modelo de área, puedes observar que el área puede ser descrita por la suma de las piezas roja, verde y amarilla. Es decir, el área es igual a x2 + 3x + 3x + 9 = x2 + 6x + 9.
Por lo tanto (x + 3)2 = x2 + 3x + 3x + 9 = x2 +6x + 9.
También puedes encontrar el cuadrado de una suma de dos términos utilizando el método FOIL.
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Ejemplo |
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Problema |
Eleva al cuadrado el binomio. (x + 5)2 |
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(x + 5)(x + 5) |
Multiplica el binomio por sí mismo. |
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x(x) = x2 x(5) = 5x 5(x) = 5x 5(5) = 25 |
Primero Exterior Interior Último |
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x2 + 5x + 5x + 25 |
Suma los términos. |
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x2 + 10x + 25 |
Combina los términos comunes. |
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Respuesta |
(x + 5)2 = x2 + 10x + 25 |
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Observa que los términos externos e internos son los mismas.
Hasta ahora, tenemos dos ejemplos en cuanto a elevar al cuadrado una suma de dos términos, uno a partir de la construcción de un modelo de área y uno a partir de cálculos algebraicos:
(x + 3)2 = x2 + 6x + 9
(x + 5)2 = x2 + 10x + 25
En ambos casos, el primer término es elevado al cuadrado para obtener el primer término del producto. Los dos términos se multiplican y se duplican por el termino de en medio del producto y el último término es elevado al cuadrado por el último término del producto.
Este patrón será verdadero para el cuadrado de la suma de cualesquiera dos términos: Eleva al cuadrado el primer término, suma dos veces el producto de los primer y último términos, suma el último término elevado al cuadrado.
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Elevar al Cuadrado una Suma Binomial Para elevar un binomio al cuadrado, realiza lo siguiente:
·Eleva al cuadrado el primer término. ·Suma el producto de los dos términos de en medio, dos veces. ·Suma el cuadrado del último término.
Este proceso está ilustrado por el siguiente caso: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
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Ejemplo |
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Problema |
Eleva al cuadrado el binomio. (2x +6)2 |
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(2x)2 = 4x2 |
Eleva al cuadrado el primer término. |
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(2x)(6)(2) = 24x |
Multiplica los dos términos y duplica el producto. |
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62 = 36 |
Eleva al cuadrado el último término. |
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4x2 + 24x +36 |
Combina los términos. |
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Respuesta |
(2 x +6)2 = 4x2 + 24x +36 |
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Puedes comprobar esta respuesta mediante la propiedad distributiva o FOIL.
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Encuentra el producto: (2s + 9)2 A) 4s2 + 81 B) 4s + 18 C) 4s2 + 36s + 81 D) 4s2 + 18s + 18 |
El Cuadrado de la Diferencia de un Binomio
¿Existe también algún patrón para cuando elevas al cuadrado la diferencia entre dos términos? ¡Sí! Debido a que la resta puede ser expresada como la suma del inverso, ocurre un patrón similar.
Considera el cuadrado del binomio (x - 7). Puedes utilizar el método FOIL.
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Ejemplo |
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Problema |
Eleva al cuadrado el binomio. (x - 7)2 |
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(x - 7)(x - 7) |
Reescríbelo como una multiplicación. |
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x(x) = x2 x(-7) = -7x -7(x) = -7x -7(-7) = 49 |
Primero Exterior Interior Último |
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x2 + (-7x) + (-x7) + 49 |
Suma los términos. |
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x2 - 14x + 49 |
Combina los términos comunes. |
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Respuesta |
(x - 7)2 = x2 - 14x + 49 |
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Observa que el patrón es similar a cuando elevas al cuadrado la suma de un binomio.
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Elevar al Cuadrado una Diferencia Binomial Para elevar al cuadrado una diferencia binomial, realiza lo siguiente: ·Eleva al cuadrado el primer término ·Resta el producto de los dos términos de en medio, dos veces ·Suma el cuadrado del último término. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 |
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Ejemplo |
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Problema |
Eleva al cuadrado el binomio. (4s- 3)2 |
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(4s)2 = 16s2 |
Eleva al cuadrado el primer término, incluyendo el coeficiente. |
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(4s)( -3)(2) = -24s |
Multiplica los dos términos y duplica el producto. |
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(-3)2 = 9 |
Eleva al cuadrado el último término. |
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16s2 - 24s + 9 |
Suma los términos. |
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Respuesta |
(4s- 3)2 = 16s2 - 24s + 9 |
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Eleva al cuadrado el binomio. (2r - 9)2 A) 4r2 - 81 B) 4r - 18 C) 4r2 - 36r + 81 D) 4r2 + 18r - 18 |
El Producto de una Suma y de una Resta
Hay un tercer producto especial a considerar entre los binomios: el producto de la suma de dos términos y de la diferencia de los dos términos. En este caso, también hay un patrón. Aquí hay un ejemplo:
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Ejemplo |
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Problema |
Multiplica los binomios. (x + 8)(x - 8) |
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X(x) = x2 x(-8) = -8x 8(x) = +8x 8(-8) = -64 |
Primero Exterior Interior Último |
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x2 - 8x + 8x - 64 |
Suma los términos. |
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Respuesta |
(x + 8)(x - 8)= x2 - 64 |
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Observa que la respuesta para este producto de un binomio es un binomio en sí mismo-- la diferencia de dos cuadrados perfectos. En este caso no hay un término en medio. ¿Por qué sucede esto? Los dos términos son opuestos y, por tanto, suman cero.
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El Producto de una Suma y de una Resta El producto de la suma de dos términos (a + b) y de la diferencia de los mismos términos (a - b) es la diferencia de los cuadrados de los dos términos. (a + b)(a - b) = (a - b)(a + b) = a2 - b2 |
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Ejemplo |
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Problema |
Multiplica los binomios. (2n - 5)(2n + 5) |
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(2n)2 = 4n2 |
Eleva al cuadrado el primer término, incluyendo el coeficiente. |
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(5)2 = 25 |
Eleva al cuadrado el último término. |
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4n2 - 25 |
Toma la diferencia. |
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Respuesta |
(2n - 5)(2n + 5) = 4n2 - 25 |
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Encuentra el producto: (2r - 9)(2r + 9) A) 4r2 - 81 B) 4r - 18 C) 4r2 - 36r + 81 D) 4r2 - 36r - 81 |
Resumen
Algunos productos de la multiplicación de binomios siguen un patrón predecible que facilita su multiplicación. Estos son conocidos como productos especiales. Hay tres productos especiales de los binomios, los cuales cada uno sigue una fórmula específica: elevar al cuadrado la suma de un binomio, elevar al cuadrado la diferencia de un binomio, y el producto de una suma y de una resta.
Permisos
Esta lectura está tomada del Programa Abierto de Matemáticas para el Desarrollo creado por The NROC Project. Está disponible bajo licencia Creative Commons.
Last modified: Tuesday, October 16, 2018, 1:23 PM