Objetivo(s) de Aprendizaje

·Utilizar el Teorema de Pitágoras para encontrar el lado desconocido de un triángulo rectángulo.

·Resolver problemas que impliquen la aplicación del teorema de Pitágoras.

 

Introducción

Hace mucho tiempo, un matemático griego llamado Pitágoras descubrió una propiedad interesante sobre los triángulos: la suma de los cuadrados de los largos de cada uno de los catetos del triángulo es igual al cuadrado del largo de la hipotenusa del triángulo. Esta propiedad--la cual tiene muchas aplicaciones en la ciencia, en el arte, en la ingeniería y en la arquitectura--ahora es llamada Teorema de Pitágoras.

 

Echemos un vistazo a cómo este teorema puede ayudarte a aprender más sobre la construcción de triángulos. Y la mejor parte--ni siquiera tienes que hablar griego para aplicar el descubrimiento de Pitágoras.

 

El Teorema de Pitágoras

Pitágoras estudió triángulos rectos, y las relaciones entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, antes de deducir su teoría.

El Teorema de Pitágoras

Si a y son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo y c es la longitud de la hipotenusa, entonces la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.

Esta relación está representada por la fórmula: http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-1-8_RESOURCE/U07_L1_T4_text_final_2_files/image002.gif

 

En el cuadro de arriba, puedes haber notado la palabra "cuadrado", así como los pequeños 2s en la parte superior derecha de las letras  http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-1-8_RESOURCE/U07_L1_T4_text_final_2_files/image002.gif. Elevar un número al cuadrado significa multiplicarlo por sí mismo. Así, por ejemplo, para elevar al cuadrado el número 5 puedes multiplicar 5 • 5 y para elevar al cuadrado el número 12, multiplicas 12 • 12. Algunos cuadrados comunes se muestran en la siguiente tabla.

 

Número

Número de Veces Por sí Mismo

Cuadrado

1

12 = 1 • 1

1

2

22 = 2 • 2

4

3

32 = 3 • 3

9

4

42 = 4 • 4

16

5

52 = 5 • 5

25

10

102 = 10 • 10

100

 

Cuando ves la ecuación http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-1-8_RESOURCE/U07_L1_T4_text_final_2_files/image002.gif, puedes pensar sobre ello como "el largo del lado a multiplicado por sí mismo, más el largo del lado b multiplicado por sí mismo es igual al largo del lado c multiplicado por sí mismo".

 

Probemos el Teorema de Pitágoras con un triángulo rectángulo.

 

 

Este teorema es válido para este triángulo rectángulo--la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es lo mismo que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa. Y, de hecho, esto aplica para todos los triángulos rectángulos.

 

El Teorema de Pitágoras también puede ser representado en términos de área. En cualquier triángulo rectángulo, el área del cuadrado dibujado a partir de la hipotenusa es igual a la suma de las superficies de los cuadrados que se extraen de los dos catetos. Puedes ver esto ilustrado a continuación en el mismo triángulo rectángulo 3-4-5.

 

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-1-8_RESOURCE/U07_L1_T4_text_final_2_files/image004.gif

 

Ten en cuenta que el teorema de Pitágoras sólo funciona con triángulos rectángulos.

 

Encontrar el Largo de la Hipotenusa

Puedes utilizar el Teorema de Pitágoras para encontrar el largo de la hipotenusa de un triángulo rectángulo si conoces el largo de los otros dos lados del triángulo, llamados catetos. Dicho de otro modo, si conoces el largo de a y b, puedes encontrar c.

 

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En el triángulo superior, se te brindan las medidas de los catetos a y b: 5 y 12, respectivamente. Puedes utilizar el Teorema de Pitágoras para encontrar un valor para el largo de c, la hipotenusa.

 

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El Teorema de Pitágoras.

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Sustituye los valores conocidos para a y b.

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Evalúa.

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Simplifica. Para encontrar el valor de c, piensa en un número que, al ser multiplicado por sí mismo, sea igual a 169. ¿Sirve el 10? ¿Qué hay de 11? 12? 13? (Puedes utilizar una calculadora para multiplicar si los números no te son muy familiares).

13 = c

La raíz cuadrada de 169 es igual a 13.

 

Utilizando la fórmula, puedes encontrar que el largo de c, la hipotenusa, es igual a 13.

 

En este caso, no conocías el valor de c—te proporcionaron el cuadrado del largo de la hipotenusa, y tenías que averiguar la solución a partir de allí. Cuando se te brinda una ecuación como, http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-1-8_RESOURCE/U07_L1_T4_text_final_2_files/image008.gif y se te pide que busques el valor de c, a esto se le llama encontrar la raíz cuadrada de un número. (Observa que encontraste un número, c, cuyo cuadrado fue igual a 169).

 

Encontrar una raíz cuadrada requiere de cierta práctica, pero también requiere de conocimiento de la multiplicación, de la división, y de un poco de ensayo y error. Observa la tabla de abajo.

 

Número x

Número y que, cuando se multiplica por sí mismo, es igual al número x

Raíz cuadrada y

1

1 • 1

1

4

2 • 2

2

9

3 • 3

3

16

4 • 4

4

25

5 • 5

5

100

10 • 10

10

 

Es un buen hábito familiarizarse con los cuadrados de los números del 0 al 10, a medida que surgen con frecuencia en las matemáticas. Si puedes recordar los números cuadrados--o si puedes utilizar una calculadora para encontrarlos--entonces encontrar muchas raíces cuadradas comunes será sólo cuestión de recordar.

 

¿Para cuál de estos triángulos aplica http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-1-8_RESOURCE/U07_L1_T4_text_final_2_files/image009.gif?

A)

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B)

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C)

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-1-8_RESOURCE/U07_L1_T4_text_final_2_files/image012.gif

D)

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Encontrar el Largo de un Cateto

Puedes utilizar la misma fórmula para calcular el largo de un cateto de un triángulo rectángulo si te dan las medidas del largo de la hipotenusa y del otro cateto. Considera el siguiente ejemplo.

 

Ejemplo

Problema

Encuentra el largo de un lado del siguiente triángulo. Utiliza una calculadora para estimar la raíz cuadrada con un decimal.

:U07_L2_T1_tt_img5.png

= ?

b = 6

c = 7

En este triángulo, se te brindan las medidas para la hipotenusa, c, y para un cateto, b. La hipotenusa siempre es opuesta al ángulo recto y siempre es el lado más largo del triángulo.

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Para encontrar el largo de un cateto a, sustituye los valores conocidos al Teorema de Pitágoras.

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Resuelve para a2. Pensemos: ¿qué número, al sumar 36, te da como resultado 49?

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Utiliza una calculadora para encontrar la raíz cuadrada de 13. La calculadora te dará una respuesta de 3.6055..., que puedes redondear a 3.6. (Dado que estás utilizando un aproximado, utiliza el símbolo http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-1-8_RESOURCE/U07_L1_T4_text_final_2_files/image018.gif.

Respuesta

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-1-8_RESOURCE/U07_L1_T4_text_final_2_files/image019.gif

 

¿Cuál de los siguientes utiliza correctamente el Teorema de Pitágoras para encontrar el lado faltante, x?

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A) http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-1-8_RESOURCE/U07_L1_T4_text_final_2_files/image021.gif

B) + 8 = 10.

C) http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-1-8_RESOURCE/U07_L1_T4_text_final_2_files/image022.gif

D) http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-1-8_RESOURCE/U07_L1_T4_text_final_2_files/image023.gif

 

Utilizar el Teorema para Resolver Problemas del Mundo Real

El Teorema de Pitágoras es quizás una de las fórmulas matemáticas más útiles que aprenderás porque hay tantas aplicaciones en los escenarios del mundo real. Los arquitectos y los ingenieros usan ampliamente esta fórmula al construir rampas, puentes y edificios. Observa los siguientes ejemplos.

 

Ejemplo

Problema

Los dueños de una casa quieren convertir una escalera que conduce desde el suelo a su porche trasero en una rampa. El porche está a 3 pies del suelo, y debido a los reglamentos de construcción, la rampa debe empezar a 12 pies de distancia de la base del porche. ¿Cuán larga será la rampa?

Utiliza una calculadora para encontrar la raíz cuadrada y redondea la respuesta al decimal más cercano.

Para resolver un problema como éste, con frecuencia resulta útil dibujar un diagrama sencillo que muestra donde descansan los catetos y la hipotenusa del triángulo.

a = 3

b = 12

c = ?

Identifica los catetos y la hipotenusa del triángulo. Conoces que el triángulo es un triángulo rectángulo debido a que el suelo y la parte levantada del porche son perpendiculares--esto significa que puedes utilizar el Teorema de Pitágoras para solucionar este problema. Identifica ab c.

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Utiliza el teorema de Pitágoras para encontrar el largo de c.

12.4 = c

Utiliza una calculadora para encontrar c. La raíz cuadrada de 153 es 12.369..., así que puedes redondearlo a 12.4.

Respuesta

La rampa será de 12.4 pies de largo.

 

Ejemplo

Problema

Un velero tiene una gran vela en la forma de triángulo rectángulo. El borde más largo de la vela mide 17 metros, y el borde inferior de la vela es de 8 metros. ¿Cuán alto es el velero?

Dibuja una imagen que te ayude a visualizar el problema. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa siempre será el lado más largo, así que aquí debe ser de 17 metros. El problema también te indica que el borde inferior del triángulo es de 8 metros.

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Estructura el Teorema de Pitágoras.

a = 15

15 • 15 = 225, por lo que a = 15.

Respuesta

La altura de la vela es de 15 metros.

 

Resumen

El Teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los largos de los catetos del triángulo es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa del triángulo. Este teorema está representado por la fórmula http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-1-8_RESOURCE/U07_L1_T4_text_final_2_files/image002.gif. Sencillamente, si conoces los largos de dos lados de un triángulo rectángulo, puedes aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar el largo del tercer lado. Recuerda, este teorema sólo funciona para los triángulos rectángulos.

 

Permisos

Esta lectura está tomada del Programa Abierto de Matemáticas para el Desarrollo creado por The NROC Project. Está disponible bajo licencia Creative Commons. 

 

 

Остання зміна: вівторок 23 жовтня 2018 10:09 AM